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Existe una clasificación muy difundida del quehacer científico en dos grandes troncos: las ciencias formales y las ciencias empíricas. Entre las últimas se cuentan todas aquellas disciplinas cuyo criterio de éxito lo constituye una suerte de acuerdo entre la teoría y la experiencia matizado por otros valores epistémicos como la simplicidad.

El caso de las ciencias formales es distinto, pues la verdad o falsedad de sus afirmaciones se puede conocer a priori aplicando exclusivamente la razón no ayudada por la observación, y sus conclusiones tienen carácter necesario: es imposible que sean falsas. En esta categoría entran, por ejemplo, las matemáticas. Pero hay otra ciencia formal bastante menos famosa entre el público general: la Lógica.

Razonamiento deductivo, inductivo y validez

A veces se dice erróneamente que la Lógica estudia las leyes del pensamiento. Pero si por pensamiento se entiende una actividad psicológica fundamentada en el cerebro, entonces la Lógica no sería más que psicología y neurociencia, es decir, una ciencia empírica.

También se suele decir que estudia las leyes del razonamiento válido. Esta definición se aproxima más a la verdad, pero deja de lado la lógica inductiva en la que, como veremos, la noción de validez es reemplazada por el concepto de fortaleza. Mejor sería decir que estudia las leyes del razonamiento correcto.

Ya se habrá dado cuenta el lector de que la idea de “razonamiento” juega un papel central en la Lógica. Un razonamiento está compuesto por dos partes: una o más premisas y una conclusión. El papel de las premisas es el de dar algún tipo de justificación a la conclusión. Entonces, cuando alguien nos pide que le demos nuestras razones para creer en una afirmación P, lo que nos está pidiendo es que hagamos explícitas las premisas que “sostienen” a P.

Pongamos un ejemplo. ¿Cuáles son las razones que tiene María para creer que no hay queso en su heladera? Bueno, María abre la heladera y no ve nada de queso. Podríamos expresar su razonamiento como una serie en la que cada término es una premisa o una conclusión:

Ejemplo 1

Si hay queso en la heladera, se observará queso al abrir la heladera (Premisa 1)

No se observa queso al abrir la heladera (Premisa 2)

∴ No hay queso en la heladera

El símbolo “∴” denota conclusión.

Otra forma de expresar lo que ocurrió en nuestro ejemplo es diciendo que la conclusión se sigue o es consecuencia lógica de las premisas.

Esta idea nos permite dar una definición más precisa de la Lógica: es la ciencia formal que estudia la noción de consecuencia lógica. En otras palabras, los lógicos tratan de clarificar lo que significa que una conclusión se siga de un conjunto de premisas. A partir de ahí, los lógicos pueden idear métodos para saber si una conclusión realmente se sigue o no de un conjunto de premisas, lo cual tiene obvias aplicaciones prácticas dentro y fuera del ámbito puramente académico.

La Lógica se divide en dos grandes ramas: la lógica deductiva y la lógica inductiva. La primera se encarga de estudiar los razonamientos en los que las premisas garantizan la verdad o la falsedad de la conclusión, de modo que en un razonamiento deductivo ocurre que si todas las premisas son verdaderas, la conclusión es necesariamente verdadera; nótese que la contraria no ocurre: si una o más premisas son falsas, la conclusión puede ser tanto falsa como verdadera (si bien por pura suerte). De esta forma, puede haber razonamientos válidos con premisas o conclusiones falsas. Por último, también puede haber razonamientos inválidos con conclusiones verdaderas.

En el mejor de los casos se cumple al mismo tiempo que: a) Tanto las premisas como la conclusión son verdaderas y b) El argumento es válido. Entonces, decimos que el argumento es sólido. De modo que la verdad de las conclusiones/premisas y la validez de un argumento son cuestiones diferentes, si bien están relacionadas.

Otra forma de entender la validez lógica es considerando la noción de regla de razonamiento. Las reglas de razonamiento nos dicen qué conclusiones se pueden obtener a partir de qué premisas teniendo en cuenta solo su forma o estructura. La regla llamada modus tollens (MT), por ejemplo, dice que:

(MT) De todos los enunciados de la forma “Si P, entonces Q” y “No Q”, se puede concluir un enunciado de la forma “No P”.

Aquí P y Q son variables que representan oraciones. Volviendo a nuestro ejemplo 1, vemos que el razonamiento se ajusta al esquema. Todo lo que hicimos fue reemplazar la variable P por “hay queso en la heladera” y Q por “se observa queso al abrir la heladera”.

En realidad, podríamos haber reemplazado P y Q por cualesquiera oraciones y el razonamiento seguiría siendo válido, pues la regla del MT lo garantiza. La validez, desde este punto de vista, queda garantizada por la forma del argumento, independientemente de qué oraciones estén como P y Q.

En el caso del razonamiento inductivo, las premisas le confieren un mero grado de fortaleza a la conclusión. Lo más que podemos decir es que nuestra conclusión es probable en cierto grado, supuesta la verdad de las premisas. No me detendré mucho en esta cuestión pues el razonamiento inductivo será el tópico central de un próximo artículo.

Una muy breve historia de la lógica deductiva

La Lógica como ciencia empezó cuando Aristóteles, en el siglo III a.C., se dispuso a estudiar en forma rigurosa y sistemática los razonamientos que los filósofos y matemáticos de la época ya empleaban en forma inconsciente e intuitiva.

La lógica aristotélica era muy limitada. Se ocupaba exclusivamente de un solo tipo de razonamiento, el silogismo. Además, admitía algunas inferencias consideradas hoy inadmisibles.

Los estoicos luego extendieron el rango de razonamientos estudiados por la Lógica al crear el cálculo proposicional, o sea, el razonamiento con oraciones y conectivas. Las conectivas lógicas más comunes son: la disyunción, la conjunción, la negación, el condicional y el bicondicional.

Hoy en día cada conectiva se entiende como una función que toma el valor de verdad de una o más oraciones y devuelve un valor de verdad diferente de acuerdo a una regla. Por ejemplo, una conjunción (dos oraciones unidas por la palabra “y” como en “Está lloviendo y tengo paraguas”) será verdadera solo si ambas oraciones (“Está lloviendo”, “Tengo paraguas”) son verdaderas, de lo contrario es falsa.

Sin embargo, la lógica de los estoicos no tuvo mucha repercusión. En el medioevo hubo también algunos avances, pero lo cierto es que la Lógica permaneció casi igual hasta que el matemático inglés George Boole publicó The Laws of Thought (1854), libro en el que la Lógica se hace simbólica.

Lo que Boole hizo fue crear un álgebra el que cada variable podía adquirir solo dos valores (verdadero o falso), y las operaciones lógicas son representadas mediante operaciones como la suma (disyunción) y la multiplicación (conjunción). A partir de aquí, empezó un proceso en el que las Matemáticas y la Lógica se influenciaron mutuamente en su desarrollo.

Central a este desarrollo fue la doctrina del logicismo en filosofía de las matemáticas, propuesta por Frege y llevada al cénit por Bertrand Russell, Whitehead, Zermelo y Fraenkel. La idea principal es que todas las verdades matemáticas son reducibles a verdades de la lógica. En el fondo, las matemáticas no son más que lógica. Para demostrarlo, Frege se dispuso a definir los conceptos básicos de la aritmética (el concepto de número, por ejemplo) en términos de conceptos lógicos como el de clase, y mostrar cómo todos los teoremas de las matemáticas se pueden derivar de aquellas definiciones utilizando operaciones puramente lógicas.

Para lograr su cometido, Frege ideó un lenguaje perfecto, libre de ambigüedades, y que refleja exclusivamente aquellas estructuras en virtud de las cuales los razonamientos son válidos (la forma). Lo llamó “conceptografía” y es el primer lenguaje formal de la historia. Éste era tan potente que era capaz de representar todos los razonamientos que interesaban a los matemáticos.

Russell encontró una paradoja en el sistema fregeano y desarrolló su teoría de tipos como respuesta al problema hasta que ésta fue desplazada por la teoría de conjuntos ZFC. Si el logicismo tuvo éxito o no es algo que todavía se discute. Algunos argumentan que sí, pues consideran que la axiomatización ZFC de la teoría de conjuntos, sobre la que hoy en día los matemáticos fundamentan todo su edificio, es parte de la lógica. Otros se oponen y ven a la lógica como una rama más de las matemáticas.

En Latinoamérica hubo desde mediados del siglo XX una gran escuela lógica representada por figuras como Gregorio Klimovsky, Francisco Miró Quesada, Carlos E. Alchourrón, Newton Da Costa, Héctor-Heri Castañeda, y otros. Hoy en día, los principales centros son el Buenos Aires Logic Group dirigido por el filósofo Eduardo Barrio de la UBA y la Sociedad Brasilera de Lógica mantenida por la Universidad de Campinas.

Sistemas formales

Los lógicos estudian las distintas formas de razonamiento que utilizamos inconscientemente en la ciencia y en la vida cotidiana.

Para llevar a cabo su tarea en forma precisa hacen uso de lenguajes formales como el de Frege. Cada lenguaje formal está constituido por un vocabulario, una gramática, una semántica y aparato deductivo. Hablo de “lenguajes formales” en plural porque hay varios y cada uno estudia tipos de razonamiento diferentes.

Algunas lógicas resultan de la extensión del vocabulario y las reglas de la lógica proposicional, y otras resultan de una desviación de uno o más principios de la lógica clásica (Sider, 2010). Hay verdaderamente todo un zoológico de lógicas y es una cuestión controvertida si hay una que sea la lógica “correcta”, tesis a la cual se opone el llamado pluralismo lógico.

Revisemos ahora, con más detenimiento, las partes de un lenguaje formal:

La gramática de un lenguaje formal nos dice qué expresiones son admisibles dentro de él. A éstas expresiones las llamamos fórmulas bien formadas (FBF).

La semántica de un sistema formal estudia la interpretación de sus símbolos. Es decir, se ocupa de la relación entre las palabras y la realidad. Por ello la noción de verdad es crucial en este asunto, pues la verdad (intuitivamente, al menos) no es otra cosa que una relación entre el lenguaje y el mundo. El objetivo principal de la semántica es el de definir la noción de consecuencia semántica para un lenguaje formal particular: pretende clarificar qué significa que las premisas garanticen la verdad o la falsedad de la conclusión en ese lenguaje específico, y que una oración sea siempre verdadera bajo cualquier interpretación de los símbolos (las llamadas fórmulas lógicamente válidas). Alfred Tarski fue pionero de la semántica al publicar su definición de verdad para sistemas formales (Tarski, 1936).

El motor de inferencia, por otra parte, consiste en un conjunto de axiomas y reglas de razonamiento (generalmente sólo el modus ponens o MP) que nos dice cómo transformar una o más FBFs (las premisas o axiomas) en otras (las conclusiones). Su objetivo principal es definir la noción de consecuencia sintáctica: qué significa, en un lenguaje formal particular, que una conclusión sea demostrable a partir de unas premisas.

Una demostración, en Lógica, es una serie ordenada de FBFs en la que cada término se obtiene de los anteriores mediante la aplicación de una regla de inferencia. Cada FBF en una demostración es o un axioma, o una premisa, o una conclusión. Cualquier oración que haya sido demostrada a partir de otras se llama normalmente “teorema”. Algunos autores distinguen entre demostración y derivación (más información en Hunter, 1971, p. 75).

Metalógica

Los lógicos buscan que los lenguajes formales tengan tres propiedades consideradas deseables: consistencia, completitud y solidez. Estas propiedades son estudiadas con ayuda de un lenguaje de orden superior que utilizamos para hablar acerca de un sistema formal dado: el metalenguaje. El mismo puede ser cualquier lenguaje natural o formal, aunque normalmente se utilizan lenguajes naturales con alguna que otra expansión (ejemplos: el alemán, el español, etc.).

Al estudio de estas propiedades se lo conoce como metalógica, y un pionero del tema fue el matemático italiano Eugenio Beltrami, quien probó la consistencia de la geometría hiperbólica de Lobachevsky interpretándola en términos de la geometría euclidiana.

Consistencia: en general significa que, para toda oración del lenguaje formal, ésta y su negación no pueden ser ambas verdaderas (o sea, no hay contradicciones).

Completitud: es cuando todas las “verdades” (fórmulas válidas) del lenguaje son también teoremas del mismo (completitud débil) o toda consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas (premisas) Г es también consecuencia sintáctica de Г (completitud fuerte).

Corrección (soundness): lo opuesto de la completitud. Es cuando todos los teoremas son también verdades dentro del sistema (corrección débil) o toda consecuencia sintáctica de conjunto de fórmulas (premisas) Г es también una consecuencia semántica de Г (corrección fuerte).

Decidibilidad: un sistema es decidible si, para cualquier FBF del sistema, hay un algoritmo (método efectivo) para saber si es o no un teorema del sistema. Si a un sistema decidible le preguntamos “¿Cuál de las dos se da: P o no P?”, el sistema debería ser capaz de darnos una respuesta.

Aunque estas definiciones sirvan para orientar al lector, deben ser tomadas con cautela pues omiten muchos detalles técnicos (para profundizar, véase Hunter, 1971).

Hoy en día sabemos, por ejemplo, que la lógica de segundo orden es incompleta  (¡hay verdades que no son probables dentro del sistema!), pero la lógica proposicional y la de primer orden son completas.

¿Para qué sirve la Lógica?

Aunque todo esto pueda dar la impresión de que la Lógica es demasiado abstracta como para tener aplicaciones prácticas, esto no es así.

La Lógica está, por ejemplo, a la base del funcionamiento de las computadoras. En una computadora, los valores verdadero y falso son representados por el paso de corrientes de diferentes niveles de voltaje en un transistor. De la misma forma en la que un operador lógico (o conectiva) toma valores de verdad y nos devuelve otro, es posible construir dispositivos (llamados puertas lógicas) que toman corrientes eléctricas y nos devuelven otra, representando así distintas operaciones lógicas como la negación y la disyunción. Si a los valores verdadero y falso los reemplazamos por 1 y 0, entonces podemos representar números en el sistema binario con ayuda de las puertas lógicas y combinarlas ingeniosamente de manera a realizar operaciones aritméticas con ellos. Hay formas ingeniosas de representar texto con el sistema binario, y los famosos latches (dispositivos que constituyen la base de la memoria de una computadora) son también básicamente combinaciones de complicadas puertas lógicas. El filósofo y lógico C.S. Peirce fue el primero en proponer estas ideas, que fueron luego llevadas a la práctica en el siglo XX por Claude Shannon.

La Lógica también sirvió para “pulir” las matemáticas, pues ayudó a clarificar muchos de sus conceptos más fundamentales y a aumentar la rigurosidad de las pruebas, sobre todo mediante el impulso del logicismo de Frege y Russell, que culminó en la axiomatización ZFC de la teoría de conjuntos.

En la Filosofía, demostró ser un instrumento extremadamente potente, ayudando a los filósofos a pensar mejor y más clara y rigurosamente. La Lógica es particularmente cultivada en la filosofía analítica.

Fuera de estas especialidades, la lógica tiene lugar también en la vida cotidiana de cualquier persona. Está claro que la Lógica (aunque sea en su vertiente informal, no-matemática) puede ser una herramienta útil para aprender a pensar mejor acerca de todo.

En la escuela, los niños deberían ser instruidos para definir sus conceptos claramente, identificar premisas y conclusiones, falacias lógicas, distinguir entre argumentos válidos e inválidos, deductivos e inductivos, etc., y luego aplicar esas herramientas a todo el resto del currículo escolar. Piaget argumenta que esto es posible recién en la etapa de desarrollo cognitivo que llamó “operativa formal”, hacia los 11 o 12 años, aunque hay estudios que empezaron a poner en duda esta idea (Astington, 1993; Gopnik, 2009).

Conjeturo que si esta sugerencia se implementa, los estudiantes tendrán más facilidad para aprender y probablemente terminen siendo ciudadanos capaces de llevar adelante debates de mayor calidad, algo clave para la construcción de una sociedad más democrática.

Referencias

 

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5 Comentarios

  1. “… pues la verdad o falsedad de sus afirmaciones se puede conocer a priori aplicando exclusivamente la razón no ayudada por la observación, y sus conclusiones tienen carácter necesario: es imposible que sean falsas.”.

    MUCHO CUIDADO con esta afirmación. Muchos grandes científicos cometieron este error!! Precisamente en Matemática, cuando el gran matemático alemán David Hilbert, entre los años 1917 – 1922, encorajó a la comunidad matemática mundial a emprender un proyecto de establecer unos pocos postulados o lemas (afirmaciones matematicas que no necesitan demostración), a partir del cuál elaborar las demostraciones (teoremas) de todo el edificio matemático de la época, hasta que apareció un joven matemático llamado Kurt Gödel, que destrozó todo el edificio matematico y, por tanto, el proyecto de Hilbert, con su “teorema de la completud matemática” (brillantemente demostrada, estableciendo que a pesar de establecer los más óptimos y simples postulados, SIEMPRE HABRÁ afirmaciones e hipótesis que NUNCA podrán ser demostradas con los postulados seleccionados, y TAMBIÉN, que en algunos casos esas afirmaciones serían contradictorias entre sí. Cabe resaltar que Hilbert y Gödel eran matemáticos y Físicos, y ambos tenían proyectos de investigación en Lógica Matemática.

    Otro ejemplo conocido por los estudiantes de primer año de ingeniería es la anécdota de Galileo Galilei, quien contradijo y refutó con razonamiento y experimentación la teoría de aquella época, fundada por Aristóteles (que para muchos CIENTÍFICOS de la época era evidente porque se “observaba” en la Naturaleza) que los cuerpos más pesados caen con mayor rapidez al suelo, desde una misma altura, que aquellos más livianos.

    • Buenas, estimado Enrique:

      Gracias por tu comentario, y muy buena la observación. La caracterización de la lógica como ciencia a priori es algo que en realidad debe ser matizado, cosa que no pude hacer por falta de espacio y para ahorrar enredos al lector no familiarizado con el tema. En primer lugar, no todos están de acuerdo con ésto. Putnam y von Neumaan, por ej, creían que la lógica clásica debía ser reformada para adaptarse a los descubrimientos empíricos de la mecánica cuántica, lo que condujo a la llamada lógica “cuántica”. Quine, con su naturalismo, pensaba algo similar. Desde ésta visión, la lógica es una ciencia empírica.
      Por otra parte, hoy en día hay una gran cantidad de lógicas diferentes, cada una con su propia relación de consecuencia lógica. En la lógica modal, por ejemplo, hay varios sistemas diferentes: K, D, T, B, S4 y S5. Ciertas inferencias que son válidas en S4 y S5, por ejemplo, son inválidas para K (aquéllas relacionadas con las llamadas modalidades iteradas) . También está el ejemplo de la lógica intuicionista en la que no no valen la ley del tercero excluido ni la eliminación de la doble negación. En la lógica proposicional paraconsistente no vale el silogismo disyuntivo. Y así sucesivamente…y surge la pregunta: hay una lógica que es la “verdadera” lógica? La mayoría hoy piensa que no. La idea es que la noción de verdad es relativa a cada lenguaje. Así que, cuando hablo de “…la verdad o falsedad de sus afirmaciones…”, la palabra “verdad” no debería entenderse en sentido universal. Mejor sería hablar de “Verdad-en-L”, siendo L un lenguaje formal específico.

      Saludos!

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